1. 1. bax: polya theorem

(bax: öyrənildiyində təəccübləndirən məlumatlar)

george polya tərəfindən 1922-ci ildə isbat edilmiş teorem.

başqa bir riyaziyyatçı olan shizuo kakutani bu teoremin öyrənildiyində təəccübləndirən məlumatlar tərəfini bu cürə açıqlamışdır:

a drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.


sərxoş bir insan hərəkətə başladığı yeri tapacağı halda, sərxoş bir quşun hərəkətə başladığı yeri tapma ehtimalı azdır və heç vaxt tapmaya da bilər. bəs niyə?

əvvəlcə random walk vəya azərbaycan dilində desək təsadüfi dolaşma anlayışını bilmək lazımdır. hər hansı fəzada təsadüfi olan yerdəyişmələrə təsadüfi dolaşma deyirik. okay, deyək ki, bir nöqtədə təsadüfi dolaşma başlayır. həmin hərəkətin başladığı nöqtəyə gec ya tez qayıdacağı halda bu hərəkətə recurrent deyirik, qayıtmayacağı halda isə hərəkət transient adlanır.


anyway, hərəkət koordinat başlanğıcından başlayır və koordinat oxlarına paralel istiqamətlərdən biri istiqamətində vahid uzunluqlu addımlarla yerini dəyişir. ehtimallar p=q=1/2 olduğu halda dolaşma simmetrik dolaşma adlanır.

poya teoremi deyir ki, 1 və 2 ölçülü fəzalarda bu cür təsadüfi dolaşma recurrentdir, yəni başladığı nöqtəyə gec-tez qayıdacaq, 3 və daha yüksək ölçülərdə ehtimal get-gedə azalır və hərəkət reccurent yox transient-dir. yəni sərxoş birinin təsadüfi dolaşması iki ölçülü fəzada olacağı üçün gec-tez hərəkətə başladığı yerə qayıdacaq. bəs quş? halbuki quşun təsadüfi dolaşması 3 ölçülü fəzada olacaq və bu da o deməkdir ki, sərxoş quşumuz başladığı nöqtəyə qayıtmaya bilər


tak çto quşları sərxoş etməyin * teoremin bir neçə isbatı var amma üstdəki ən çox istifadə olunanıdır.

[1]: riyaziyyat ensiklopediyasi

[3]: http://tms.soc.srcf.net/talks/2014-15/sousi.pdf

əlavələr:

http://stat.math.uregina.ca/~kozdron/research/talks/duke_polya.pdf
https://pdfs.semanticscholar.org/34eb/9bece15985b48db59e330113f8586d4473e4.pdf