11. atası kim moiseyeviç vaynşteyn milliyətcə yəhudi, anası klara şagenovna kasparyan isə ermənidir. babası moisey rubinoviç vaynşteyn keçən əsrin 40-50-ci illərində azərbaycan ssr-də tanınmış mədəniyyət xadimi, bəstəkar və dirijor olmuşdu.1963-cü ildə bakı şəhərində dünyaya gələn harri əvvəllər vaynşteyn soyadını daşısa da atasının 1970-ci ildə leykimiyadan vəfatından sonra, 1976-cı ildə anası onun soyadını dəyişərək öz soyadını vermiş, soyadın sonluğundakı "yan" hissəciyini isə dəyişərək rus stilində "ov" yazdırmışdır.
harri kasparov 1980-ci ildə bakı şəhərindəki 151 saylı orta məktəbi qızıl medalla bitirmişdir. 18 yanvar 1980-cı il tarixdə bakını ailəsi və qohumları ilə birlikdə tərk etmiş. sovet ordusunun da bakını tərk etməsini tələb etmişdi.