(baxma: topoloji fəza)
x * topoloji fəza olsun. hər hansı x isə bu topoloji fəzada təyin olunan nöqtə. xətt üçün : γ, γ` : [0,1]-->x beləki; γ(1)=γ'(0). γ∨γ' : [0,1]-->x
(γ∨γ')(t)=γ(2t) 0≤t≤1/2 olduqda ; (γ∨γ')(t)=γ'(2t-1) 1/2≤t≤1 olduqda
ℵ(x,x) x'-də və x nöqtəsində, l, l' homotopikdir: l≅xl' ; ℵ(x,x) halqa çoxluğu adlanır.
lt∈ℵ(x,x) t∈ı
π(x,x) ℵ(x,x)/≅x
π1(x,x) - fundamental qrup adlanir.
çox abstrakt qaldığı üçün bir neçə nümunə verim: məsələn bir çevrənin fundamental qrupunu tapaq;
s^1={x∈r^2; [[x]]=1}; l x-ə daxil olan bir döngü (loop) olsun. x∈s^1 beləliklə π1(s^1,x) bir çevrə üçün fundamental qrup olacaq.
məsələn, belə bir torus üçün fundamental qrupu tapa bilərik;
v=d^2×s^1 torusun özüdür. d^2 - 2 disk adlanır. d^2={x∈r^2; [[x]]≤1} qısaca. v əslində homotopik olaraq s^1-ə bərabərdir. yəni: π1(v)=π1(s^1)=⟨[b]⟩
bəs bu 'b' işin içinə niyə girdi? b={b}×s^1, b∈∂v boundary adlanir və ∂v=t^2=s^1×s^1
π1(t^2)=π1(s^1)×π1(s^1)=⟨[a]⟩×⟨[b]⟩ burda a-da bayaq b kimi ={a}×∂d^2 və əlbəttə ki a-da ∈s^1-e.
yəni bayaq hesablamaya daxil etdiyimiz a ve b əslinde halqalar idi.
belə bir sey. bu fundamental qrup anlayışını biraz irəlilədib puankare hipotezinə apara bilərik məsələn : n-kürə üçün s^n={s^n+1; [[x]]=1} π1(s^n)={1} bu sadə əlaqəli kürənin riyazi tərifidir. və ya π1(x)={1}. burdan belə deyə bilərik ki; bütün 3-manifoldlar s^3-lər ilə homoemorfikdir.