əvvəla topologiyada invariant anlayışı var, invariant dəyişməz deməkdir, topologiya özü kəsilməz deformasiyalar altında qorunan fəzaların xüsusiyyətlərini öyrənir. deformasiya nədir bilirik okay, kəsilməz sözünün mənasını da bilirik . topologiya bu kəsilməz deformasiya şərtləri altında xüsusiyyətlərini qoruyan fəzaları öyrənir. həmin fəzalara da topoloji fəza deyək. əslində tərifi daha fərqli və genişdir amma detallardan qaçırıq, əsas olan mövzunun nə olduğunu izah etməkdir. topologiyanı bu sahəyə uzaq olan insanlara izah etmək üçün klişe bir tema var, ona toxunacam :d
məsələn bunu götürək:
iki fərqli şey görürük,düzdür? yəni yad bir göz üçün burda iki fərqli şey var, biri çaşka, digəri də donut (donut adlanır, simitə bənzəyən fiqur) amma gördüyünüz kimi bir çaşkanı kəsilməz deformasiya ilə bir donuta ya da əksinə bir donutu çaşkaya çevirmək olar, ikisi də bir-birlərinə çevrilə bilərlər, deməli bu iki topoloji fəza bir-birinə ekvivalent və ya homoemorfikdir, topololoji olaraq baxanda eyni şeylərdir yəni. invariantlardan danışırdım axı, bax topoloji invariantlar topoloji fəzaları bir-birindən ayırmaq üçün istifadə olunur çünki invariantlar dəyişmir, bütün deformasiyalar altında dəyişməz qalırlar, ən bəsiti eyler xarakteristikasıdır, eyler xarakteristikası da belə hesablanır:
qısaca desək eyler xarakteristikası v-e f kimi hesablanır, v (vertice) yəni künclərin sayı, f (face) fiqurun üzlərinin sayı, e (edge) isə kənarlarının sayı. yəni eyler xarakteristikasını bu cür asanlıqla hesablamaq olar. ümumiyyətlə topologiya eyler sayəsində ortaya çıxıb və bunun çox məşhur bir hekayəsi var, körpülərlə bağlı bir hekayədir. vaxtı zamanında königsberg şəhərində 7 körpü var imiş, o körpülərin şəklini də atacam aşağıda, königsberg şəhərinin sakinləri də yığışıb düşünübmüş ki bəs bir nöqtədən başlayaraq və hər körpüdən sadəcə 1 dəfə keçərək bütün şəhəri dolaşmaq mümkündür ya yox? bu problemi həll edə bilmədikləri üçün məktub yazaraq eylerdən soruşublar, eyler də oturub bir müddət düşünüb və daha sonra belə bir şeyin mümkün olmayacağını isbat edib və beləliklə də qraflar nəzəriyyəsi dolayısı ilə topologiya yaranıb.
eyler problemi həll eləmək üçün körpünü qrafa çevirib. problem soruşur ki bir nöqtədən başlayaraq və hər körpünü 1 dəfə keçməklə bütün şəhəri dolaşmaq mümkündür mü? bax həmin o başlanılan nöqtəyə düyüm deyirik, yəni qrafın düyümləri, hər düyümdən başlayan körpülərin sayına isə (bundan sonra həmin körpülər düyümlərə bağlı olan elementlər adlanacaq) düyümlərin dərəcəsi deyirik, ümumiyyətlə bir qrafın riyazi tərifini qısaca belə vermək olar ki bir-birinə bağlı olan nöqtələr və əyrilərdən ya da düz xəttlərdən ibarət fiqurlara qraf deyilir, nöqtələr vertice adlanır (üstdə izah elədiyim kimi, künc nöqtələr, yəni düz xətt və əyrilərin birləşdiyi nöqtələr), düz xətt və əyrilər isə edge (yəni tərəflər) eyler isbat edib ki bir şəxsin sadəcə bir düyümdən başlayaraq və hər edge-dən (tərəfdən) sadəcə bircə dəfə keçərək bütün körpüləri dolaşması üçün gərək həmin qrafın tək dərəcəli düyümlərinin sayı iki olsun. königsberg problemində isə belə deyil, tək dərəcəli düyümlərin sayı ikidən çoxdur və deməli şəhər sakinlərinin düşündüyü kimi bir dolaşma mümkün deyil.
ən üstdə homoemorfizmdən, ekvivalentlikdən danışırdıq axı. üstdə donut (torus da deyə bilərik) və bir çaşkanın topoloji ekvivalent olduğunu gördük, bəs kürə ilə də ekvivalentdirmi? xeyr. vizual olaraq bir torusun ortasında deşik var gördüyün kimi, kürə də isə belə bir şey yoxdur və bunları kəsilməz deformasiya ilə bir-birinə çevirə bilməzsən, amma bunu eyler xarakteristikası ilə də hesablamaq olar, torusun eyler xarakteristikası 0-dır, kürənin isə 2-dir, qısacası sadəcə vizual olaraq baxıb demirik ki aha bunlar ekvivalentdir və s., əlimizdə teorem var və bu teoremə baxaraq asanlıqla görə bilirik hər şeyi. invariantlar fərqlidirsə deməli topoloji olaraq ekvivanlent də deyillər. bir də təbii ki genus anlayışı var, bir fiqurdakı deşiklərin sayı genus adlanır, bir fiqurun eyler xarakteristikası 2-2g düsturu ilə də göstərilə bilər, burda g - deşiklərin sayıdır, kürədə deşik yoxdur, 2-2*0= 2-0=2. gördüyün kimi burdan da kürənin eyler xarakteristikasının 2 olduğunu tapa bilirik.
topologiyanı belə qısa və sadə entry ilə açıqlamaq qeyri-mümkündür əlbəttə. itə tök altsahəsi və tətbiqləri var. həndəsi topologiya, cəbri topologiya və s.
entry əvvəllər yazılmışdı,təzədən bərpa elədim.
mənbə və əlavə oxu üçün.
https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
topology: very short introduction
vaqif qasımov: topologiya və onun bəzi tətbiqləri
digər altsahələr üçün:
(bax: diferensial topologiya)